数学常用公式(三)- 排列组合和二项式定理

基本概念

  1. 分类计数原理(加法原理)

    做一件事,完成它有n类方法,在第一类办法中有中不同的方法,在第二类办法中有种不同的办法,在第n类办法中有种不同的办法,那么完成这件事情共有种不同的方法。

  2. 分步计数原理(乘法原理)

    做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有种不同的方法,做第二步有种不同的方法,……做第n步有种不同的方法,那么完成这件事情共有种不同的方法。

  3. 组合

    从n个不同的元素种,任取个元素不论顺序成为一组,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,从n个不同元素取出个元素的所有组合的个数,称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记作

  4. 排列

    从n个不同元素中,任取个元素按照一定的顺序排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,从n个不同元素中取出个元素的所有排列的个数,称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作

  5. 二项定理

    • 概念: , 其中称为的二项式展开式。称为二项式系数。

    • 通项公式:

    • 性质

      1. 共有n+1项

      2. 各项中a的指数由n到0依次减少,b的指数由0到n依次增加,每项中a和b的指数之和为n

      3. 展开式中奇数项与偶数项的系数之和相等, 即为

典型题型

  1. 站队问题

    1. 相邻问题

      方法: 捆绑法
      步骤: 先特殊后整体,即先把要求相邻的元素捆成一个整体当作一个元素,再和其他元素放在一起从整体角度考虑,最后考虑捆绑元素内部排序问题。

    2. 不相邻问题

      方法:插空法
      步骤: 先其他后特殊,即排除要求不相邻的元素,再把剩下的其他元素排好位置,形成若干个空位,再把要求不相邻的元素插入这些空位中。

    3. 特殊要求问题

      方法: 特权优先,即哪些元素或位置要求比较特殊,先处理特殊再一般。

  2. 几何问题

    方法:通常采用列举法,以几何图形的属性为依据。

  3. 分堆 + 分配问题

    1. 完全平均分堆模型:

    2. 局部平均分堆模型:

    3. 完全不平均分堆模型: 分法

  4. 全错位排列

    2个元素:1种排列方法
    3个元素:2种排列方法
    4个元素:9种排列方法
    5个元素:44种排列方法

  5. 投信问题

    把m封不同的信投入n个不同的信箱,共有种不同的投信方法

必会问题

以下各题均基于题干:6本不同的书,按如下要求,有____种分法

  1. 分三堆,一堆3本,一堆2本,一堆1本

     

  2. 分三人,甲3本,乙2本,丙1本

     

  3. 分三人,一人3本,一人2本,一人1本

     

  4. 分三堆,每堆2本

     

  5. 分三人,甲2本,乙2本,丙2本

     

  6. 分三人,每人2本

     

  7. 分三堆,一堆4本,另两堆每堆1本

     

  8. 分三人,甲4本,乙1本,丙1本

     

  9. 分三人,一人4本,另两人每人1本

     

概率问题

随机事件: 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。

必然事件: 在一定条件下必然要发生的事件。

不可能事件: 在一定条件下不可能发生的事件。

事件A的概率为:

等可能性事件: 一次实验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此实验中的某一事件A由几个基本事件组成,如果一次实验中可能出现的结果有n个,即此实验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是, 如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率

互斥事件: 不可能同时发生的两个事件角互斥事件

  1. 若A、B为互斥事件,则
  2. 为互斥事件,则

对立事件: 是互斥事件的一种特殊情况,是指在一次实验中有且仅有一个发生的两个事件。

独立事件: 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,这样的两个事件称为相互独立事件。

特点:

  1. 独立事件研究的是两个事件之间的关系。
  2. 所研究的两个事件是在两次实验中得到的。
  3. 两个事件相互独立是从一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响来确定的。

独立事件概率公式

  1. 若A、B为独立事件,则
  2. 为独立事件,则

伯努利实验: 如果在一次实验中,事件A发生的概率为P,那么在n次独立重复实验中,事件A恰好发生k次的概率是: